クイズ １２個のビー玉の重さ

さて、クイズです。

【クイズ】

ここに１２個のビー玉があります。しかし、このうち１つだけちょっと重さが違うビー玉が混じっています。重いか軽いかはわかりません。 そこで３回だけ天秤を使って、１２個のビー玉の中から、重さの違うビー玉を当て、さらにそれが、重いか軽いかということを正確に当てることはできるであろうか。できるのであれば、その方法、できないのであればできない理由を述べなさい。

【答え】

答えは、できます。 まず、わかりやすいようにビー玉に番号をつけてみます。１・２・３・４・５・６・７・８・９・１０・１１・１２とします。 そうしたら、まず「１・２・３・４」のビー玉と「５・６・７・８」のビー玉を両方に乗せます。 釣り合えば、重さの違うビー玉は「９・１０・１１・１２」のいずれかです。 ２回目は「１・２・３」と「９・１０・１１」を乗せて測定します。釣り合えば重さが違うのは１２です。 後は簡単ですよね。３回目は１と１２を乗せて、１２が下がれば１２が他のビー玉より重く、１２が上がれば１２が他のビー玉より軽いということになります。
それではもし、２回目で「９・１０・１１」が下がってしまったら「９・１０・１１」のいずれかのビー玉が重い（上がってしまったら軽い）ということがわかります。後は簡単ですよね。３回目は９と１０を乗せて測り、釣り合えば１１が、下がれば、下がった方が重い（上がれば上がった方が軽い）ということになります。

それでは、１回目の「１・２・３・４」と「５・６・７・８」で、「５・６・７・８」が下がってしまったら、「１・２・３・４」に軽いビー玉が含まれているか「５・６・７・８」に重いビー玉が含まれているということになります。２回目は「１・２・５」と「３・４・６」で測ります。釣り合えば、重さが違うのは７か８となります。３回目は１と７を比べ、釣り合えば８が重いビー玉、７が下がれば７が重いビー玉です。
それではもし、２回目の測定で「１・２・５」と「３・４・６」で「３・４・６」が下がったとすると、５が軽いのか３か４が重いのかということになります。 ３回目は３と４を天秤にかけて、釣り合えば５が軽く、釣り合わなければ３か４のうち下がった方が重いということになります。 また、２回目の測定で「１・２・５」が下がったとすると、６が軽いのか１か２が重いのかということになります。３回目は同様に１と２を天秤にかけて、釣り合えば６が軽く、釣り合わなければ１か２のうち下がった方が重いということになります。